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Categoria: Logica

La computabilità: Algoritmi, Logica, Calcolatori Palladino D., Frixione M.

AlgoritmiLa computabilità: Algoritmi, Logica, Calcolatori è un’introduzione alla teoria della computabilità. Non si tratta di un testo particolarmente tecnico e può essere compreso anche da chi non ha quasi nessuna cognizione pregressa sull’argomento. In particolare non sono richieste particolari competenze matematiche o logico-formali. Anche se probabilmente il libro può suscitare approvazione e interesse soprattutto per gli interessati alla logica filosofica, esso può essere di utilità anche a studenti di matematica del triennio piuttosto che a studenti del liceo particolarmente agguerriti.

Il testo è diviso in sette capitoli. Il primo capitolo, Algoritmi introduce la nozione centrale di algoritmo, la loro possibile rappresentazione grafica mediante i diagrammi di flusso e i loro possibili risultati, tra cui anche la possibilità che essi non ne producano affatto. Il secondo capitolo, Funzioni matematiche e algoritmi è il primo passo verso la costruzione della teoria della computabilità in matematica. Infatti, gli algoritmi sono concettualmente vicini ai sistemi di logica, grazie ai quali possiamo effettuare dimostrazioni rigorose. Sono a tal punto vicini che i due campi si intersecano. Per mostrare in che modo questo avvenga, gli autori forniscono una serie di utili spiegazioni circa la natura delle funzioni, alla loro calcolabilità effettiva (o non calcolabilità) e nell’ultimo paragrafo anticipano alcuni risultati sull’indecidibilità (cioè problemi matematici che non ammettono una risposta positiva da parte di alcun algoritmo). Il capitolo terzo, Le macchine di Turing, è una trattazione di un certo dettaglio delle macchine di Turing, una macchina astratta che, appositamente programmata, è in grado di svolgere algoritmi. In particolare la macchina di Turing può essere utilizzata per spiegare in che consista la computabilità effettiva. Esse, dunque, possono essere impiegate per il calcolo di funzioni aritmetiche. Nella parte finale del capitolo si considera anche il problema della fermata. Il capitolo quarto, Funzioni ricorsive, è dedicato alla spiegazione di un tipo particolare di funzioni, le funzioni ricorsive. Si scoprirà che di esse ci sono diversi tipi. Per cui nel capitolo quinto Tesi di Church e problemi indecidibili si considera la tesi di Church, la sua disamina e la sua analisi circa la connessione con le macchine di Turing. Il penultimo capitolo, il sesto, La computabilità e i fondamenti della matematica, considera il versante puramente logico e considera i teoremi di indecidibilità di Gödel e la loro connessione con i risultati di Church. In fine, Computabilità informatica e studio della mente fornisce una panoramica generalissima sull’informatica, come disciplina applicativa della teoria della computabilità. Inoltre, sempre in questo ultimo capitolo, si considera stringatamente, il legame tra alcune discipline della scienza cognitiva, in particolare tra la filosofia della mente, l’intelligenza artificiale e la neuroscienza.

La logica a fumetti. Cryan D., Shatil S., MayBlin B..

FumettiLogica a fumetti è un libro di introduzione alla logica formale. La logica formale è una disciplina di dimensioni ampie, in cui rientrano tutti gli studi dei sistemi di deduzione di proposizioni. Le differenze tra i sistemi di logica dipende dal numero di connettivi considerati, dagli elementi semplici che costituiscono le proposizioni. La logica classica proposizionale ha come elementi semplici le proposizioni atomiche indicate con lettere minuscole e ha come connettivi gli operatori classici (e, o, non…). La logica predicativa considera anche predicati (indicati in genere con lettera maiuscola), termini singolari che stanno per entità di un dominio di interpretazione, gli operatori classici della logica proposizionale e i quantificatori (universale ed esistenziale). La logica modale include operatori modali di necessità e possibilità. E così via. Logica a fumetti introduce a molti tipi di logica mediante uno stile, appunto, fumettistico.

I confini logici della matematica. Ragunì G.

I  confini logici della matematica è un libro di logica matematica dai molteplici intenti e con un chiaro metodo analitico. Gli scopi che l’autore si propone sono diversi e tutti variamente ambiziosi: chiarificare la terminologia di una disciplina solo apparentemente trasparente, mediante argomentazioni metamatematiche; mettere in luce i limiti e i pregi di un approccio puramente sintattico alla matematica e, conseguentemente, la necessaria integrazione di un’analisi metamatematica alla logica matematica; precisare i problemi legati alla Teoria formale degli Insiemi, sia in termini epistemologici che di coerenza; mostrare i limiti di alcune impostazioni correnti in logica matematica; chiarire alcuni punti controversi, alla luce dell’analisi, su entrambi i Teoremi di Gödel. Questi scopi sono, più propriamente, i nuclei tematici più salienti ma, ad una attenta lettura, potrebbero risultare una selezione ingiustificabilmente esemplificatrice. In realtà, si tratta di un’opera la cui complessità è lasciata intravedere continuamente in ogni pagina, nonostante possa apparire sfuggevole alla luce della sua compattezza.

Le ragioni di esistenza del libro vengono enunciate nella prefazione dell’autore. Egli era partito dalla curiosità intellettuale verso i teoremi di Gödel e dalla necessità di chiarire a se stesso fino a che punto si può essere certi del fondamento delle proprie deduzioni logiche. Eppure, nonostante la logica matematica sia una disciplina formale (termine qui usato in modo intuitivo), fondata su delle convenzioni condivise, rimane il fatto che spesso non sia così agevole nella comprensione:

Il percorso che mi ha portato alla sua comprensione si è reso particolarmente difficoltoso essenzialmente per tre motivi. Il primo è che il tema, come spesso succede in Matematica, non si presta ad essere isolato: per comprendere bene ogni particolare, bisogna prima aver chiaro cos’è il modello di una Teoria, la metamatematica, il Teorema di completezza semantica, le funzioni ricorsive…; in breve, avere almeno un’idea approssimativa, ma solida dei fondamenti della Logica. Il secondo motivo è dovuto all’ambiguità della terminologia usata; sembra davvero incredibile che in un argomento così delicato, che richiederebbe il massimo della precisione, si continui ad adoperare un linguaggio così propenso alla confusione (…). Il terzo motivo è costituito dagli equivoci, scorrettezze ed errori che abbiamo creduto riscontrare in diversi temi. Per andare avanti, dopo mesi di riflessioni e ricerche di nuove pubblicazioni, non restava che avere la presunzione di correggerli o rassegnarsi a non comprendere; ovviamente esponendosi alla possibilità di trovarci noi stessi in errore. Alcune di tali revisioni e correzioni hanno un carattere marginale, altre più fondamentale. Tutto ciò giustifica le ragioni stesse del libro; che dunque, seppur scritto con l’obbiettivo irrinunciabile di essere pienamente comprensibile al lettore inesperto, introduce anche alcune novità in Logica.[1]

Queste giustificazioni sorreggono gli intenti e mostrano la superficie e il punto più profondo, al contempo, del lavoro. Da un lato, infatti, siamo di fronte ad un’opera che vuole portare un’analisi dal quasi vuoto al pieno e il ‘quasi’ sta per il fatto che alcune basilari convenzioni sul linguaggio naturale devono essere già preconosciute; d’altra parte, la conoscenza almeno sommaria degli argomenti trattati senz’altro agevola la comprensione delle molte sfumature del libro. Da un altro lato, però, l’opera porta avanti diversi intenti concomitanti che fanno sì che la lettura non costituisca solo una guida per il lettore “inesperto”, ma può fornire importanti chiarimenti anche per gli specialisti. Questo secondo fatto, che potrebbe passare inosservato dalla dichiarazione di intenti esplicita dell’autore in Prefazione, non solo non è di secondaria importanza, ma è tra gli scopi principali del lavoro.

Logica da Zero a Gödel. Berto F.

A cura di Giangiuseppe Pili.                                         www.scuolafilosofica.com .

“Logica da Zero a Gödel” non propriamente un manuale di logica. Esso è un testo che dovrebbe essere letto prima di accedere direttamente alla disciplina. La Logica è ostica che richiede molte nozioni pre-tecniche, se così si può dire, ma che difficilmente si riescono ad imparare in blocco. Spesso, nei manuali più tecnici si dà questa conoscenza per scontata. Come la matematica, la Logica si impara facendola e, dunque, l’acquisizione di solide basi, anche concettuali, risulta di capitale importanza.

Il lavoro di Berto riesce in pieno in questa difficile operazione: fornire gli strumenti concettuali per lo studio della Logica.

Tutti pazzi per Gödel. Berto F.

A cura di Giangiuseppe Pili                                        www.scuolafilosofica.com

INTRODUZIONE.

Provare a vedere il teorema di Gödel come una grande “sinfonia” è una delle diverse sfide del libro di Francesco Berto. Le perplessità per la metafora musicale cadono una volta che ci si addentra nella lettura: l’insieme di nozioni richieste per comprendere la dimostrazione dei teoremi di Gödel è quanto mai varia e spazia da una minima conoscenza della storia della filosofia della matematica, alla conoscenza della logica elementare fino alla teoria degli insiemi. La diversità delle competenze che il libro intende fornire, è paragonabile ai vari temi armonici e agli strumenti musicali richiesti per suonare una sinfonia:  «[…] impareremo molte cose molto in fretta. Alcune di esse potrebbero sembrare slegate l’una dall’altra, e anche la loro utilità potrebbe non essere inizialmente chiara. In realtà, tutte sono connesse in vario modo all’interno della sinfonia di Gödel». (p.5)