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Propongo una spiegazione del “paradosso” delle tre scatole, (quello in cui: devi indovinare la scatola con premio; il conduttore, che sa dov’è il premio, ti apre una delle scatole che non hai scelto, vuota; tu puoi cambiare scelta o meno).
Diciamo che tu scegli la prima scatola, A. C’è probabilità 1/3 che il premio sia in ognuna delle tre scatole A, B o C. A quel punto i casi possibili sono:
(c1) il premio è in A, e il conduttore apre B;
(c2) il premio è in A, e il conduttore apre C;
(c3) il premio è in B, e il conduttore apre C;
(c4) il premio è in C, e il conduttore apre B.
Supponiamo che il conduttore apra B. Dei quattro casi, quelli possibili rimangono due, il (c1) e il (c4). A questo punto, l’errore che si può commettere è di considerare equiprobabili i due casi, e dire che la probabilità che il premio sia nella scatola che hai scelto (caso (c1)) vale 1/2.
Invece i casi possibili vanno pesati con le loro probabilità. Ammettendo che, se hai scelto la scatola giusta, il conduttore apra l’una o l’altra scatola delle rimanenti con probabilità 1/2 (sceglie a caso), le probabilità sono:
P(c1) = 1/3 * 1/2 = 1/6;
P(c2) = 1/3 * 1/2 = 1/6;
P(c3) = 1/3;
P(c4) = 1/3.
Allora, dopo che il conduttore ha aperto B (e i casi possibili si riducono a c1 e c4), la probabilità che la scelta di A sia giusta (evento (a)) è
P(a) = P(c1) / [ P(c1) + P(c4) ] = (1/6) / [ (1/6) + (1/3) ] = (1/6) / (1/2) = 1/3.
è sempre un 1/3 quindi, indipendentemente dal fatto che ti sia stata mostrata una scatola aperta, come è logico che sia. Naturalmente, la probabilità che il premio sia nell’altra scatola non aperta (C) è 2/3, che si può anche calcolare
P(c) = P(c4) / [ P(c1) + P(c4) ] = (1/3) / [ (1/6) + (1/3) ] = (1/3) / (1/2) = 2/3.
Quindi conviene cambiare scatola.
Tutto si spiegherebbe in pochi passaggi usando la formula di Bayes, però così sembra più convincente. Il punto è: la probabilità non è sempre (numero casi favorevoli) / (numero di casi possibili) , ma bisogna pesare i casi con le loro probabilità!
[1] Clarke M. (2002), I paradossi dalla A alla Z, Cortina, Milano, 2004, p. 142.