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Il paradosso di Berry e il paradosso di Richard: soluzioni per ciascuno

“Sia dato un linguaggio qualsiasi (ricordiamo, con un numero finito di caratteri). L’insieme di tutte le proposizioni simboliche con meno di 100 caratteri è finito. Di esse, alcune definiscono numeri naturali, come <<il numero che sommato a 5 fa 7>> (che ha 30 caratteri, inclusi gli spazi). Consideriamo l’insieme di tutte le proposizioni simboliche con meno di 100 caratteri che definiscono numeri naturali. Tale insieme è finito e definisce sempre un numero finito di numeri naturali. Sia m il più grande di tali numeri. Allora la proposizione <<il numero naturale successivo al più grande definibile con meno di 100 caratteri>> definisce il numero naturale m+1 e ha meno di 100 caratteri (per l’esattezza 80). Assurdo”. Esso è noto come “paradosso di Berry”, ma non si tratta davvero di un paradosso, se con tale termine intendiamo un assurdo inevitabile (che è ciò che abbiamo convenuto). Soffermiamoci sull’affermazione “tale insieme è finito e definisce sempre un numero finito di numeri naturali”. Cosa si intende qui per “definisce”? Se il linguaggio è semantico può essere capace di definire con poche frasi un numero anche infinito di enti matematici; un esempio si ha nella stessa definizione di un qualsiasi Sistema assiomatico formale (non banale), in cui, servendosi di metamatematica, vengono definiti infinite proposizioni e teoremi. Gli stessi, infiniti, numeri naturali sono, evidentemente, definiti mediante un numero finito di caratteri; si ammetterà che è cosí se si ammette che è possibile definirli! Ci si sta riferendo, dunque, a un tipo limitato di “definizione”, un tipo in cui non sono ammesse “circolarità” o retrospezioni. L’ultima frase del “paradosso”, invece, definisce un numero usando una retrospezione, cioè con criterio differente. Si confondono, pertanto, diversi livelli d’interpretazione. Un esempio concreto chiarirà del tutto la questione. Se si usano i caratteri alfa-numerici, le possibili sequenze ordinate di tali simboli con una lunghezza minore di 100 caratteri sono tantissime, ma finite. Supponiamo di voler definire, mediante alcune di tali combinazioni, un numero finito di numeri naturali. Il criterio per farlo può variare ad arbitrio, dipendendo dalla lingua usata e/o da ogni altra nostra preferenza. Per esempio, è probabile che si decida di assegnare ogni stringa del tipo “00…01” al numero 1, cioè al successore di 0. Anche “il successore di 0″, se siamo italiani, sarà probabilmente considerata una definizione di 1. Uno stesso numero, dunque, potrà avere più di una definizione; mentre, per semplicità, possiamo stabilire che ogni proposizione definisca al più un solo numero naturale[1]. Immaginando di passare in rassegna tutte le possibili combinazioni, è del tutto probabile che ne scarteremo parecchie: alcune, in quanto prive di un significato convenuto (come <<ahT_l&Kak>>), altre perché si riterrà che non definiscono numeri naturali (come <<il gatto non ha digerito il topo>>). Ovviamente, nulla ci vieta di convenire che certe stringhe più o meno strane, come <<il mio numero fortunato>> o <<il numero dei vizi capitali>> definiscano certi numeri naturali. Prima o poi, ci imbatteremo nella misteriosa sequenza: <<il numero naturale successivo al più grande definibile con meno di 100 caratteri”>>. Che fare? Ammetteremo che Antonio decida di non associarvi alcun numero, mentre Francesca, forse in base a certi studi, la considererà la definizione di un determinato naturale, per esempio di 239987. Terminato il nostro lavoro, riconsideriamo la frase convenendo che il suo termine “definibile” si riferisca, appunto, al nostro lungo e meticoloso lavoro. Se si ammette così, essa definisce adesso un indiscusso naturale, sia per Antonio che per Francesca. Il punto fondamentale è che, per entrambi, la frase possiede ora un valore semantico differente da quello prima considerato: infatti Antonio non vi aveva associato alcun numero, mentre Francesca un numero che, come si può immediatamente riconoscere, non può essere lo stesso. Per entrambi, non c’è modo di correggere le convenzioni in modo da far coincidere i due numeri, ovvero i due diversi valori semantici.

In altri termini, il “paradosso di Berry”, lungi dall’essere un vero paradosso, è un chiaro segnale che un linguaggio semantico può possedere distinti livelli interpretativi, come avevamo già affermato. Se nel “paradosso di Berry” intendiamo per “definizione”, ovunque appaia, il concetto semantico più ampio possibile, cioè tutti i possibili modi di definizione, si ottiene una metadimostrazione per assurdo (semantico) del fatto che un numero finito di proposizioni simboliche è capace di definire, mediante l’intervento della semantica, un numero infinito di numeri naturali. Ma quante devono essere, almeno, tali proposizioni simboliche per poterlo fare? Di quanto può essere abbassato il numero 100? Non si vedono criteri logici che possano caratterizzare tale numero minimo. E in effetti non ne esistono! Un solo carattere, come “a”, può rappresentare un qualsiasi prefissato numero e, se lo conveniamo, può rappresentarne più d’uno. Ad esempio, possiamo convenire che rappresenti sia 3 che 8774; si pretenderà di capire dal contesto, ogni volta che appaia “a”, se esso indica 3 o 8774. Ma può anche rappresentarne infiniti. Pensiamo a quante rette diverse indica la lettera “r” in un comune libro di Geometria o più in generale nell’intera letteratura matematica. Perché dovrebbe esserci un limite a tale numero? Finché il contesto chiarisce di quale retta stiamo parlando, non c’é alcun problema. Certo, l’inevitabile prezzo pagato è il pericolo di confusione; ma in ambito semantico tale rischio può sussistere. In generale, più oggetti sono rappresentati dalla stessa sequenza, maggiore è il grado di significatività (e di possibile confusione[2]) della lingua. Così, in principio, un solo simbolo sarebbe sufficiente per denotare individualmente ciascun numero naturale o reale o elemento di un qualsiasi insieme o collezione arbitrariamente grande, come quella stessa di tutte le espressioni semantiche S. Naturalmente, questo rappresenta il caso limite esasperato. I contesti interpretativi variabili normalmente usati dalla metamatematica non hanno alcun bisogno di essere rischiosamente ambigui: ciò, anzi, non è mai conveniente né opportuno. Di solito, in effetti, non ci sono difficoltà per renderli meno equivocabili arricchendo e raffinando il vocabolario.

Il “paradosso di Richard”, è un altro pseudo-paradosso della stessa specie. In esso si suppone che i numeri reali compresi tra 0 e 1, definibili tramite definizioni individuali, siano numerabili e se ne fa una lista. Poi si definisce un numero reale tra 0 e 1 con il medesimo criterio della diagonale di Cantor, prima descritto. Il numero reale suddetto non sta nella lista eppure è stato definito, assurdo. Di nuovo, non si tratta di un vero paradosso: quando si ammette che tutte le definizioni individuali sono numerabili, si assume per esse un tipo di semantica limitato, che equivale ad una semplice denotazione. Poi, invece, si tira fuori una definizione di carattere irriducibilmente retrospettivo: essa, per funzionare, deve riferirsi, guardandola dall’esterno, all’intera lista considerata; e, pertanto, non può farne parte. In altri termini, dev’essere di un diverso tipo logico rispetto a quelle della lista. Nuovamente, l’assurdo deriva dalla confusione di tali differenti valori semantici del verbo “definire”. Analogamente al precedente pseudo-paradosso, se le definizioni vengono sempre considerate nel senso semantico più ampio, il “paradosso di Richard” può essere letto come una metadimostrazione del fatto che le definizioni semantiche individuali non sono numerabili e quindi sono in grado, almeno teoricamente, di definire un numero di oggetti superiore al numerabile (come i numeri reali): una medesima stringa, diversamente interpretata, può essere usata per definire un numero a priori illimitato di numeri. Un ragionamento più solido di quello epistemologico fatto all’inizio del paragrafo; ma anche meno generale, in quanto non esclude la possibilità che il numero delle espressioni semantiche sia un altro cardinale superiore a אּ0. Ma è probabile che su questa linea possa realizzarsi una metadimostrazione generale.

Ovviamente, un particolare linguaggio semantico può avere un qualunque numero inferiore all’iperinnumerabile di proposizioni: di una qualunque cardinalità (innumerabile o numerabile) e anche finito. D’altra parte i Sistemi formali, il cui linguaggio non è semantico, hanno un numero di proposizioni finito o infinito numerabile, come osserveremo presto. Dunque, un linguaggio con un numero di proposizioni finito o infinito numerabile, può essere sia formale che semantico. Invece, un linguaggio che consta di un numero di proposizioni superiore al numerabile, è necessariamente semantico. Infatti, se possiede un numero finito di simboli, può adoperare solo una quantità numerabile di stringhe finite. Dovendo con esse formulare un numero superiore a אּ0 di proposizioni, deve essere capace di associare più di una proposizione ad una medesima sequenza finita di simboli (ovvero, adottare un contesto interpretativo variabile); ma ciò può farsi solo assegnando valori diversi alla stessa stringa. Ciascun valore costituisce[3], appunto, un significato e la sua assegnazione, l’interpretazione semantica. Si noti come l’ineliminabilità di tale valore semantico derivi proprio dall’obbligatorietà di differenziare una medesima stringa in più frasi significative. In altri termini, l’uso di un contesto interpretativo variabile rappresenta l’aspetto logico caratteristico della semantica intrinseca, cioè non eliminabile.

Riferimenti

Il precedente brano è parte del libro I confini logici della matematica, (Ragunì G., I confini logici della matematica, Aracne, 2009, pp. 120-124). In questa sede ringraziamo l’autore per averci concesso il privilegio di ospitare le sue preziose pagine sul nostro blog.

Per chi desiderasse avere i riferimenti del libro, oltre che cliccare sul link sopra, può utilmente visionare il seguente sito:

http://www.bubok.es/libros/195952/I-confini-logici-della-Matematica


[1] Ma, in ciò che segue, non cambierebbe assolutamente nulla se invece definisse un numero qualsiasi, purché finito, di numeri naturali.

[2] E, aggiungiamo, di fascino, pensando al greco antico. Certo, col trascorrere del tempo, le lingue si specializzano e si arricchiscono di vocaboli, guadagnando in precisione, ma anche in “freddezza”.

[3] Verrebbe di aggiungere “per definizione”, ma chiaramente sarebbe presuntuoso.


Giuseppe Ragunì

Giuseppe Ragunì è professore universitario presso l’Università Cattolica di San Antonio a Murcia (Spagna). Ha pubblicato I confini logici della matematica e svariati articoli in riviste di settore.

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